三元闭包

在社交网络(Social Network, SN)和在线社交网络(Online Social Network, OSN)，具体的人和社交关系可以抽象成一张巨大的图。社会关系的变化就是随着时间迁移图的结构的变化。那么这个网络构成的图有什么特点呢？社会学家发现了一个规律：

如果两个互不认识的人有了一个共同朋友，则它们两个在未来成为朋友的可能性提高。

也就是当网络中节点A和节点B之间的共同节点越多时，未来A与B直接建立边的概率更高。

我们可以通过聚集系数来刻画三元闭包，节点A的聚集系数=A的任意两个朋友之间也是朋友的概率

强三元闭包

后来社会学家Mark Granovetter发现了一个问题：就是在找工作这种重要的事情上，一般熟人会比亲近的朋友给予更多的帮助我们可以给结点之间的边一个权值，表示这个关系的强度。在上面的例子中，熟人的关系强度是大于朋友的，给出更多帮助也很符合常理。这样就引入了强三元闭包的原理：

如果A-B和A-C之间有强关系，则B-C之间形成边的可能性提高

如果结点A存在两个强关系邻居，而邻居之间没有任何关系(Strong/Weak)，则称A违背强三元闭包原理，反之则符合。

综上，如果A满足强三元闭包原理，则与A相连的捷径都是弱关系。于是我们可以得到一个推论：社会网络结构就是用桥（捷径/邻里重叠度低的边/弱关系）连接起来的相对比较密集互连的节点群。

同质性

我们经常说“近朱者赤，近墨者黑”，但究竟是因为两个人是朋友才相似，还是因为相似才成为朋友呢？不妨就假设上面两个对社交关系的建立没有任何影响，对人的特点抽象成节点颜色，就可以得到如下模型：

一个2色图中结点为白色的概率为 $p$ ，红色的概率为 $q=(1-p)$ ，随后在图上完全随机的建立边，我们不难发现，边两端颜色相同的概率为 $p^2+q^2$ ，颜色不同的概率为 $2pq$ 。现在我们对一个样本进行统计，如果两个人有不同的特质并且是朋友概率要明显小于 $2pq$ ，则就可以认为这个群体的同质性明显，反之亦然。

比如下面的例子：

白色概率为

p=\frac{2}{3}

，红色概率为

q=\frac{1}{3}

按照公式计算 $2pq=\frac{4}{9}$

统计异色边为5条，频率为 $\frac{5}{18}$

此时频率小于概率，体现出了一定的同质性。

现在我们能够解释共同特点对社交关系的影响了，应该怎么刻画社交关系对个人行为特点的影响呢？

社会归属网可以帮助我们理解这一点：

我们在社会归属网中看到了三种闭包现象，三元闭包，会员闭包和社团闭包。其中会员闭包体现出了社会影响(Influence)的作用，而社团闭包体现了选择(Selection)的作用。

正负关系

但是人与人之间的关系并不是只有朋友关系，还有敌对和中立关系等。所以我们还可以对社会网络中的关系引入正负之分，正关系代表你们之间关系好，负关系表示你们之间有竞争或者敌对关系。引入了正负关系之后社会网络的结构又会怎么变化呢？我们来看一个简单的例子：

在左上角的关系中，ABC三个人都是+关系，也就是说他们两两都是朋友，这是一种比较稳定的关系。
左下角的关系中，AB有一个共同的敌人C，所谓敌人的敌人就是我的朋友，所以AB之间也是朋友，着同样是一种比较稳定的关系。
右上角的关系中，AB和AC之间是正关系，等价于A有两个朋友B和C，但是BC之间是敌人。这种关系就有演化成A撮合两个人，形成三个人都是朋友关系，或者A被某人离间，形成共同敌对某一个人（左下角的关系）的趋势，是一种不稳定的结构。
右下角的关系就代表ABC三个人都是敌对关系，这在某些情况下可以看作是稳定的，但是一般来说，这种关系并不是十分的稳定。

总的来看，当一个三角关系中存在 +++关系 或者 ++-关系 的时候是比较稳定的。

推广来看，就是当一个环形关系中存在奇数个-关系，那么就是不稳定的。

平衡定理

如果研究的是一个完全图，也就是所有人都认识所有人的情况，每三个人之间都可以形成一个三角关系。当且仅当每一个三角关系都是稳定的，我们说这个完全图是平衡的。

“平衡”意味着改变关系属性的动力不足，或者有较强的动机维持现有的关系。

弱平衡网络

上面我们提到了++-（右上角）的三角关系是不稳定的，而---的关系有时候是稳定的。现在我们允许网络中存在---的三角关系，定义网络内如果不存在++-的三角关系，那么它就是弱平衡的。

非完全图的推广

上面研究的完全图毕竟是少数情况，如果现在不知道一些节点之间的关系，是非完全图，那应该怎么判断这个网络是不是平衡的呢？

直观来想的话，一大群人中应该会形成很多“团体”。如果每个人仅存在在一个团体中，团体内的成员之间都是+关系，团体之间都是-关系，这种结构是平衡的。

于是就想到了可以将整个网络划分为几个以 +关系 连接的连通分量，每个连通分量可以作为一个“团体”，最后只需要判断，团体之间的环形关系是不是存在奇数个-关系就可以了。